DamienTerminale · spé maths
Comment faire une récurrence : la méthode en 3 étapes
La récurrence fait peur, alors que c'est une des questions les plus « mécaniques » du BAC : la rédaction est toujours la même. Elle tombe dans plus de 3 sujets sur 4.
Démonstration par récurrence
Présente dans 25 des 33 sujets de BAC 2025-2026 (APMEP). Voir l'analyse
La méthode en 3 étapes
Initialisation
Vérifier que la propriété est vraie au premier rang (souvent n = 0 ou n = 1).
Hérédité
Supposer la propriété vraie pour un entier k fixé, et montrer qu'elle est vraie au rang k + 1.
Conclusion
La propriété est vraie au premier rang et héréditaire, donc vraie pour tout n.
La rédaction attendue
Pour tout entier naturel n, on note P(n) : « 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 3 ».
Initialisation : u₀ = … et u₁ = …, donc 0 ≤ u₀ ≤ u₁ ≤ 3 : P(0) est vraie.
Hérédité : soit k un entier naturel fixé. On suppose P(k) vraie, c'est-à-dire 0 ≤ uₖ ≤ uₖ₊₁ ≤ 3. Montrons P(k + 1) : 0 ≤ uₖ₊₁ ≤ uₖ₊₂ ≤ 3. […]
Conclusion : P(0) est vraie et P est héréditaire, donc par récurrence, P(n) est vraie pour tout entier naturel n.
Cas très fréquent : uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f croissante sur l'intervalle. Dans l'hérédité, on applique f à l'encadrement de l'hypothèse : comme f est croissante, l'ordre est conservé.
Les pièges qui font perdre des points
- Écrire « on suppose P(n) vraie pour tout n » : c'est supposer ce qu'on veut démontrer. On suppose P(k) vraie pour UN entier k fixé.
- Oublier l'initialisation, même quand elle paraît évidente.
- Appliquer f sans dire qu'elle est croissante sur l'intervalle concerné.
- Bâcler la conclusion : elle rapporte des points, écrivez-la entièrement.
Exercices de BAC corrigés en vidéo
Chaque lien ouvre la vidéo directement au moment où la récurrence est traitée.
BAC 2024 Centres étrangers J1 · Ex2 SuitesLa récurrence, et une hérédité seule à rédiger▶ 6:54
BAC 2024 Métropole J1 (secours) · Ex3 Fonctions et suitesLa partie récurrence de l'exercice▶ 9:39
BAC 2024 Amérique du Nord J2 · Ex3 SuitesUne démonstration par récurrence type▶ 6:44
BAC 2024 Polynésie J1 · Ex4 SuitesL'hérédité, étape par étape▶ 5:14
S'entraîner
Tous les sujets de BAC corrigés sont sur le site de l'APMEP. La récurrence est presque toujours dans l'exercice de suites, souvent juste avant la question de convergence : voir la fiche limites de suites.