Terminale · spé maths

Loi binomiale : la phrase type et les calculs

Dans l'exercice de probabilités du BAC, la loi binomiale revient sans cesse. Et la première question rapporte des points faciles : il suffit de connaître la phrase de justification.

Loi binomiale

67%

Présente dans 22 des 33 sujets de BAC 2025-2026 (APMEP).

La phrase type à connaître

« On répète n fois, de manière identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès « … » a pour probabilité p. La variable aléatoire X compte le nombre de succès, donc X suit la loi binomiale de paramètres n et p. »

Ce qu'il faut savoir

P(X = k) = (k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
Espérance : E(X) = np ; variance : V(X) = np(1 − p).
Au moins un succès : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ.

La méthode en 3 étapes

ÉTAPE 01

Justifier la loi

Recopier la phrase type en précisant le succès, n et p.

ÉTAPE 02

Traduire la question

« Au plus 3 » : P(X ≤ 3). « Au moins 3 » : P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2).

ÉTAPE 03

Calculer

Calculatrice (loi binomiale, probabilité simple ou cumulée), arrondir comme demandé.

Les pièges qui font perdre des points

Oublier « indépendante » dans la justification : c'est le mot que le correcteur attend.
Confondre P(X < 3) et P(X ≤ 3) : P(X < 3) = P(X ≤ 2).
« Au moins 3 » : c'est 1 − P(X ≤ 2), pas 1 − P(X ≤ 3).
Trouver n tel que P(X ≥ 1) > 0,99 : résoudre avec le logarithme, en changeant le sens de l'inégalité quand on divise par un ln négatif (voir la fiche logarithme).