DamienPremière · spé maths
Dérivation : de la formule au tableau de variations
La dérivation sert surtout à une chose : étudier les variations d'une fonction. C'est la question « dresser le tableau de variations » qui revient dans presque tous les contrôles, puis au BAC.
Les formules indispensables
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| u + v | u′ + v′ |
| k·u | k·u′ |
| u·v | u′v + uv′ |
| u/v | (u′v − uv′)/v² |
La tangente
Le nombre dérivé f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Son équation :
y = f′(a)(x − a) + f(a)
Étudier les variations en 3 étapes
Calculer f′(x)
Identifier la bonne formule (produit, quotient…) et simplifier au maximum, idéalement sous forme factorisée.
Étudier le signe de f′
Tableau de signes de chaque facteur. Un carré ou v² est toujours positif.
Conclure
f′ > 0 : f croissante ; f′ < 0 : f décroissante. Calculer les extremums dans le tableau.
Les pièges qui font perdre des points
- Développer la dérivée au lieu de la factoriser : on ne peut plus étudier son signe.
- Le dénominateur v² : il est toujours positif, inutile de l'étudier, mais il faut le dire.
- Confondre le signe de f′ et le signe de f : le tableau de variations parle de f, le tableau de signes parle de f′.
- Oublier les valeurs aux bornes et aux extremums dans le tableau de variations.
S'entraîner
Les exercices type contrôle suivent presque toujours le même enchaînement : dérivée, signe, variations, puis une question qui utilise le tableau (extremum, nombre de solutions…). Faites-en plusieurs et notez vos erreurs dans une fiche par type d'exercice.